结束观测变换 Finishing up Viewing

透视投影 Perspective Projection

近平面的 l, r, b, t 是什么？
- 定义一个视锥，从相机到近平面
- vertical field-of-view (fovY) and aspect ratio
- 垂直视场（可视角度）和宽高比（假设是对称的，则 l = -r, b = -t）
通过宽高比和垂直的可视角度，可以推出水平的可视角度
如何从 fovY 和 aspect ratio 转换到 l, r, b, t ？

视口变换 Viewport transformation

MVP变换之后是什么？

Model transformation (placing objects)
View transformation (placing camera)
Projection transformation
- Orthographic projection (cuboid to “canonical” cube $[-1, 1]^3$ )
- Perspective projection (frustum to “canonical” cube)
Canonical cube to ?

规范立方体到屏幕 Canonical Cube to Screen

What is a screen?
- An array of pixels
- Size of the array: resolution（分辨率）
- A typical kind of raster display
Raster（光栅）== screen in German
- Rasterize（光栅化）== drawing onto the screen
Pixel (FYI, short for “picture element”)
- For now: A pixel is a little square with uniform color
- Color is a mixture of (red, green, blue)
定义屏幕空间（与《Fundamentals of Computer Graphics》略有不同
- 像素索引的形式为 (x, y)，其中 x 和 y 都是整数
- 像素索引 from (0, 0) to (width - 1, height - 1)
- 像素 (x, y) 的中心是 (x + 0.5, y + 0.5)
- 屏幕覆盖范围 (0, 0) to (width, height)
与 z 轴无关，xy 平面中的变换： $[-1, 1]^2$ to $[0, width] x [0, height]$
视口变换矩阵 Viewport transform matrix：

$M_{viewport}=\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{width}2\\0&1&0&\frac{height}2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{width}2&0&0&0\\0&\frac{height}2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{width}2&0&0&\frac{width}2\\0&\frac{height}2&0&\frac{height}2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

光栅化 Rasterization

不同的光栅显示 Different raster displays

示波器 Oscilloscope
阴极射线管 Cathode Ray Tube (CRT)
电视 Television - 光栅显示 CRT（光栅扫描：p逐行扫描，i隔行扫描…
帧缓冲区 Frame Buffer：用于光栅显示的内存
平板显示器 Flat Panel Displays（低分辨率液晶显示屏 Low-Res LCD Display
LED 阵列显示屏 LED Array Display
电泳（电子墨水）显示器 Electrophoretic (Electronic Ink) Display

光栅化三角形 Rasterizing a triangle

光栅化：绘图到光栅显示 Rasterization : Drawing to Raster Displays

多边形网格 Polygon Meshes
三角形网格 Triangle Meshes
三角形 - 基本形状基元 Triangles - Fundamental Shape Primitives
- 为什么是三角形？
  - 最基本的多边形
    - 分解其他多边形
  - 独特的属性
    - 内部一定是平面的
    - 内部外部定义明确（向量叉积判断一个点是否在三角形内
    - 定义明确的在三角形顶点处插值的方法（重心插值）
什么像素值近似于三角形（如何用像素近似表达一个三角形）？

采样 A Simple Approach: Sampling

对函数进行采样 Sampling a Function

在某个点评估函数就是采样。Evaluating a function at a point is sampling.
我们可以通过采样来离散函数。We can discretize a function by sampling.

1 2	for (int x = 0; x < xmax; ++x) output[x] = f(x);

采样是图形学的核心思想。
我们采样时间 time (1D)，面积 area (2D)，方向 direction (2D)，体积 volume (3D)…

光栅化是 2D 采样，利用像素中心对屏幕空间进行采样。
如果像素中心在三角形内（Each Pixel Center Is Inside Triangle），则进行采样。
Rasterization As 2D Sampling

定义二元函数：bool inside(tri, x, y)，x, y 不一定是整数。

Rasterization = Sampling A 2D Indicator Function

二元函数 inside(tri, x, y) 中 x, y 是连续变量，通过采样（像素中心）来离散函数。

// 对所有像素遍历
for (int x = 0; x < xmax; ++x)
    for (int y = 0; y < ymax; ++y)
        image[x][y] = inside(tri, x + 0.5, y + 0.5);

inside(tri, x, y)

可以利用向量叉积判断一个点（像素中心）是否在三角形内，来实现 inside 函数。
对于点刚好在三角形边上的情况，可以自行定义该点是否在三角形内。

通常对于这样的问题，要么不做处理，要么特殊处理。
在这门课上，我们不做处理。
在一些图形学API中，比如 OpenGL、DirectX，会有非常严格的规定，比如上边和左边的点认为在三角形内，右边和下边的点认为不在三角形内，了解即可。

光栅化加速

考虑一个三角形的光栅化时，没必要检查屏幕上的所有像素。

可以根据三角形顶点坐标范围定义一个包围盒 Bounding Box，只考虑这个区域内的像素：
Use a Bounding Box

增量三角形遍历 Incremental Triangle Traversal (Faster?)

每一行都找它的最左和最后，当然做起来不是很容易
适用于细三角形和旋转三角形，包围盒覆盖像素比实际覆盖像素多很多

Incremental Triangle Traversal

现实显示器的光栅化

真实液晶屏像素，注意 R、G、B 像素几何结构。
Real LCD Screen Pixels (Closeup)

彩色打印：观察半色调图案。（CMYK
Color print observe half-tone pattern

假设显示像素发射方形光：笔记本电脑上的 LCD 像素实际上并不以均匀颜色的正方形发光，但这种近似值足以满足我们当前的讨论。（这门课上仍然认为一个像素就是一个颜色均匀的小方块
LCD pixel on laptop

走样 Aliasing（锯齿 Jaggies）

最后，如果我们向显示器发送采样信号，显示器实际显示：
Jaggies

对比连续的三角形，会出现锯齿，因为像素本身有一定大小，采样率对信号来说不够高，所以产生了这样的信号走样问题。

走样问题，在光栅化图形学上就体现在锯齿上：
Aliasing (Jaggies)

之后会介绍反走样、抗锯齿等