Transformation

2D transformations

缩放 Scale

• Transform: $x'=s_xx\;;\;y'=s_yy$
• Matrix: $\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Scale (Uniform)

Scale (Non-Uniform)

Reflection Matrix

Shear Matrix

旋转 Rotate

• 默认绕 (0, 0) ，逆时针（Counterclockwise）旋转

$R_\theta$ 矩阵推导：

设 $x'=R_\theta x$，即 $\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

由特殊点：
( cosθ, sinθ) ← (1, 0) 得 a = cosθ, c = sinθ ；
(-sinθ, cosθ) ← (0, 1) 得 b = -sinθ, d = cosθ 。

Linear Transforms = Matrices (of the same dimension)

$x'\;=\;ax\;+\;by\;\;\;\;\;y'\;=\;cx\;+\;dy$

$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

$x'=Mx$

平移 Translation

$x'\;=\;x\;+\;t_x\;\;\;\;\;y'\;=\;y\;+\;t_y$

$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix}$

平移不能以矩阵形式表示，不是线性变换。但是我们不希望平移成为一种特殊情况。

是否有一个统一的方式来表示所有的变换？（代价是什么？）

齐次坐标 Homogeneous coordinates

添加第三个坐标：w

• 2D point  = $(x, y, 1)^T$
• 2D vector = $(x, y, 0)^T$

平移的矩阵表示： $\begin{bmatrix}x'\\y'\\w'\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}x\;+\:t_x\\y\;+\:t_y\\1\end{bmatrix}$

如果平移一个向量会怎样？
向量只关注长度、方向，经过平移之后保持不变。

w = 1，表示一个点 point，w = 0 表示一个向量 vector：

• vector + vector = vector
• vector - vector = vector + (-vector)
• point + vector = point
• point - vector = point + (-vector)
• point + point = ???
• point - point = vector

当 point + point 时，结果的 w = 2，我们规定在齐次坐标中：

$(x, y, w)^T\;is\;the\;2D\;point\;(\frac xw, \frac yw, 1)^T,\;w \neq 0$

所以齐次坐标中，两点相加得到的是两点的中点 point + point = (mid) point。

仿射变换 Affine Transformations

• 先线性变换，再平移（Affine map = linear map + translation

$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix}$

• 使用齐次坐标：

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}a&b&t_x\\c&d&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

逆变换 Inverse Transform

$x = Ix = M^{-1}Mx = M^{-1}x'$

组合变换 Composing Transforms

• 变换的顺序很重要，因为矩阵乘法没有交换律：

$R_{45}\cdot T_{(1,0)}\neq T_{(1,0)}\cdot R_{45}$

• 注意变换矩阵是从右到左应用的：

$T_{(1,\;0)}\cdot R_{45}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos45^\circ&-\sin45^\circ&0\\\sin45^\circ&\cos45^\circ&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

对仿射变换序列：$A_1, A_2, A_3, ..., A_n$，由矩阵乘法组成：

矩阵乘法虽然没有交换律，但是有结合律，预乘 n 个矩阵以获得表示组合变换的单个矩阵，这对性能来说非常重要。

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b&t_x\\c&d&t_y\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

分解复杂的变换 Decomposing Complex Transforms

我们之前说的旋转，是绕原点 (0, 0)，如何绕给定的点 c 旋转？

1. 将点 c 平移至原点；
2. 旋转；
3. 将点 c 平移回去。

3D Transforms

类比 2D 变换，使用齐次坐标：

• 3D point  = $(x, y, z, 1)^T$
• 3D vector = $(x, y, z, 0)^T$

$In\;general,\;(x, y, z, w)^T\;is\;the\;3D\;point\;(\frac xw, \frac yw, \frac zw, 1)^T,\;w \neq 0$

使用 4×4 矩阵进行仿射变换（先线性变换，再平移）：

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}a&b&c&0\\d&e&f&0\\g&h&i&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b&c&t_x\\d&e&f&t_y\\g&h&i&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}$

• 绕 x 轴旋转，x 坐标不变，$\overset\rightharpoonup y\times\overset\rightharpoonup z=+\overset\rightharpoonup x$，在 y-z 平面旋转 θ，$R_x(\theta)$ 的 y, z 坐标矩阵与 2D 旋转矩阵 $R_\theta$ 相同；

• 绕 z 轴旋转，z 坐标不变，$\overset\rightharpoonup x\times\overset\rightharpoonup y=+\overset\rightharpoonup z$，在 x-y 平面旋转 θ，$R_z(\theta)$ 的 x, y 坐标矩阵与 2D 旋转矩阵 $R_\theta$ 相同；

• 绕 y 轴旋转，y 坐标不变，$\overset\rightharpoonup z\times\overset\rightharpoonup x=+\overset\rightharpoonup y$，在 z-x 平面旋转 θ，$R_y(\theta)$ 的 z, x 坐标矩阵与 2D 旋转矩阵 $R_\theta$ 相同；
  但是因为我们矩阵坐标顺序为 x, y, z，所以实际是 $R_y(\theta)$ 的 x, z 坐标矩阵与 2D 旋转矩阵 $R_\theta^{-1}$ 相同。

为什么是 $R_\theta^{-1}$ ？

上面我们提到逆变换 Inverse Transform，不难看出，在 z-x 平面逆时针旋转 θ 的角度，相当于在 x-z 平面顺时针旋转 θ 的角度，也就是逆时针旋转 -θ 的角度，自然是一个逆变换。

$R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$

$R_{-\theta}=\begin{bmatrix}\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}=R_\theta^T$

$R_{-\theta}=R_\theta^{-1}\;\;(by\;definition)$

可以得到，旋转矩阵的逆等于旋转矩阵的转置，$R_\theta^{-1}=R_\theta^T$，这在后面会用到。

另外在数学上，如果一个矩阵的逆等于它的转置，我们称之为正交矩阵。

3D Rotations

从 $R_x$、$R_y$、$R_z$ 组成任何 3D 旋转：

${\boldsymbol R}_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)={\boldsymbol R}_x(\alpha){\boldsymbol R}_y(\beta){\boldsymbol R}_z(\gamma)$

也就是把任意旋转都写成绕 x，绕 y，绕 z 轴旋转的组合，旋转的角度分别是 α，β，γ 角，这三个角又被称作欧拉角。

三个轴可以对应飞机的运动：横滚 roll、俯仰 pitch、偏航 yaw，可以看出确实任意旋转都可以分解为绕三个轴旋转的组合。

罗德里格斯旋转公式 Rodrigues’ Rotation Formula

绕 n 轴（用单位向量 $\widehat n$表示，起点为原点，方向是 n 轴的方向），旋转角度 α 的旋转矩阵：

如何绕任意轴旋转？变换分解：将轴起点平移到原点；旋转；再移回去。

但是 $R(\boldsymbol n,\;\alpha)+R(\boldsymbol n,\;\beta)\neq R(\boldsymbol n,\;\frac{\alpha+\beta}2)$，因为三角函数并不是线性的，也就是说旋转矩阵不适合作差值，四元数可以解决这个问题。

GAMES101没有讲关于四元数，这里先不写了，以后再找一下欧拉角、旋转矩阵、四元数之间的转换。
留个问题，旋转矩阵转欧拉角作差值可以吗？

推导

参考百度百科的过程简单梳理一下：

设 $\overset\rightharpoonup v$ 是一个三维空间向量，$\widehat k$是旋转轴的单位向量，则 $\overset\rightharpoonup v$ 在右手螺旋定则意义下绕旋转轴 $\widehat k$旋转角度 θ 得到的向量可以由三个不共面的向量 $\overset\rightharpoonup v$ , $\widehat k$和 $\widehat k\times\overset\rightharpoonup v$ 表示：

$\overset\rightharpoonup{v_{rot}}=\cos\theta\overset\rightharpoonup v+(1-\cos\theta)(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k+\sin\theta\widehat k\times\overset\rightharpoonup v$

向量形式

思路：对于与旋转轴 $\widehat k$呈任意角度的向量 $\overset\rightharpoonup v$，可以通过正交分解，把被旋转向量转化为与旋转轴平行的分量 $\overset\rightharpoonup{v_\parallel}$ 和与旋转轴垂直的分量 $\overset\rightharpoonup{v_\perp}$，其中 $\overset\rightharpoonup{v_\parallel}$ 在旋转中是不变的，而 $\overset\rightharpoonup{v_\perp}$ 则恰好旋转了角度 θ，把 $\overset\rightharpoonup{v_\perp}$ 旋转后的向量 $\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}$ 与 $\overset\rightharpoonup{v_\parallel}$ 相加，即可得到旋转以后的向量 $\overset\rightharpoonup{v_{rot}}=\overset\rightharpoonup{v_\parallel}+\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}$ 。

Step 1:
对向量 $\overset\rightharpoonup v$ 正交分解：$\overset\rightharpoonup v=\overset\rightharpoonup{v_\parallel}+\overset\rightharpoonup{v_\perp}$
利用向量投影公式，可得 $\overset\rightharpoonup{v_\parallel}$，其中设 $\widehat k$与 $\overset\rightharpoonup v$ 夹角为 α，且 $\widehat k$为单位向量，$\left|\widehat k\right|=1$

$\overset\rightharpoonup{v_\parallel}=proj(\overset\rightharpoonup v,\;\widehat k)=(\left|\overset\rightharpoonup v\right|\cos\alpha)\widehat k=(\frac{\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k}{\left|\widehat k\right|})\widehat k=(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k$

通过向量减法，可得 $\overset\rightharpoonup{v_\perp}=\overset\rightharpoonup v-\overset\rightharpoonup{v_\parallel}=\overset\rightharpoonup v-(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k$

Step 2:
首先得到 $\overset\rightharpoonup{v_\perp}$ 对应的单位向量 $\widehat{v_\perp}=normalize(\overset\rightharpoonup{v_\perp})=\frac{\overset\rightharpoonup{v_\perp}}{\left|\overset\rightharpoonup{v_\perp}\right|}$

利用叉乘得到与 $\widehat k$和 $\widehat{v_\perp}$ 都垂直的单位向量 $\widehat w$：

$\widehat w=\widehat k\times\widehat{v_\perp}=\frac{\widehat k\times\overset\rightharpoonup{v_\perp}}{\left|\overset\rightharpoonup{v_\perp}\right|}=\frac{\widehat k\times(\overset\rightharpoonup v-(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k)}{\left|\overset\rightharpoonup{v_\perp}\right|}=\frac{\widehat k\times\overset\rightharpoonup v-\overset\rightharpoonup0}{\left|\overset\rightharpoonup{v_\perp}\right|}=\frac{\widehat k\times\overset\rightharpoonup v}{\left|\overset\rightharpoonup{v_\perp}\right|}$

此时 $\widehat k$，$\widehat{v_\perp}$，$\widehat w$组成一个右手坐标系。
为什么令 $\widehat w=\widehat k\times\widehat{v_\perp}$ 而不是 $\widehat w=\widehat{v_\perp}\times\widehat k$?

个人理解是方便计算：
因为逆时针旋转，一般假设旋转角度 $\theta\;(0\leq\theta\leq180^\circ)$，正交分解时计算方便，否则要处理负号；后面由 $\overset\rightharpoonup{v_{rot}}$ 推导旋转矩阵时也容易提取 $\overset\rightharpoonup v$

当然令 $\widehat w=\widehat{v_\perp}\times\widehat k$也完全 OK，只是某些部分会多一个负号，这只是我们推导的中间过程，最终结果是一样的，因为有 $\overset\rightharpoonup a\times\overset\rightharpoonup b=-\overset\rightharpoonup b\times\overset\rightharpoonup a$

Step 3:
然后可以对旋转 θ 角度之后的 $\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}$ 作正交分解：

$\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}=(\left|\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}\right|\cos\theta)\widehat{v_\perp}+(\left|\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}\right|\sin\theta)\widehat w$

显然，有 $\left|\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}\right|=\left|\overset\rightharpoonup{v_\perp}\right|$，所以：

$\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}=\cos\theta\overset\rightharpoonup{v_\perp}+\sin\theta\widehat k\times\overset\rightharpoonup v=\cos\theta(\overset\rightharpoonup v-(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k)+\sin\theta\widehat k\times\overset\rightharpoonup v$

最终得到旋转后的向量表达式 $\overset\rightharpoonup{v_{rot}}$：

$\overset\rightharpoonup{v_{rot}}=\overset\rightharpoonup{v_\parallel}+\overset\rightharpoonup{v_{\perp rot}}=(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k+\cos\theta(\overset\rightharpoonup v-(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k)+\sin\theta\widehat k\times\overset\rightharpoonup v$

即为：

$\overset\rightharpoonup{v_{rot}}=\cos\theta\overset\rightharpoonup v+(1-\cos\theta)(\overset\rightharpoonup v\cdot\widehat k)\widehat k+\sin\theta\widehat k\times\overset\rightharpoonup v$

矩阵形式

在计算机图形学中，罗德里格向量旋转公式通常被用来填写旋转矩阵 $R(k, \theta)$。

旋转以后的向量可以表示为：$\overset\rightharpoonup{v_{rot}}=R(k,\;\theta)\overset\rightharpoonup v$

只需从向量表达式中提取出一个右乘（点乘）的 $\overset\rightharpoonup v$，即可得：

$R(k,\;\theta)=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\widehat k\widehat k^T+\sin\theta K$

其中，$I$ 为 3 阶单位矩阵（也有用 $E$ 表示的），$K$ 为单位向量 $\widehat k$的矩阵表示：$\widehat k\times\overset\rightharpoonup v=K\overset\rightharpoonup v$

假设：$\widehat k=\begin{pmatrix}k_x&k_y&k_z\end{pmatrix}^T,\;\;\;\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}v_x&v_y&v_z\end{pmatrix}^T$，则：

$R(k,\;\theta)=\cos\theta I+(1-\cos\theta)\begin{pmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_x&k_y&k_z\end{pmatrix}+\sin\theta\begin{pmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{pmatrix}$

观测变换 Viewing transformation

视图变换 View/Camera transformation

1. 什么是视图变换？思考如何拍一张照片：
   • 找一个好的地方安排人站位（模型变换 Model Transformation）
   • 找一个好的角度安置相机（视图变换 View Transformation）
   • 茄子！（投影变换 Projection Transformation）
2. 如何进行视图变换？
   • 首先定义相机
     • 位置 Position $\overset\rightharpoonup e$
     • 视线方向 Look-at / gaze direction $\widehat g$
     • 向上方向 Up direction $\widehat t$（想象飞机的翻滚 roll
       
   • 如果相机和所有的物体一起移动，“照片”将是相同的（相对静止
     
   • 如果我们总是变换相机到：
     • The origin, up at Y, look at -Z
     • 并让物体跟着相机一起变换
       
   • 利用视图变换矩阵 $M_{view}$ 变换相机
     • 使其 located at origin, up at Y, look at -Z
   • $M_{view}$ in math?
     • 令 $M_{view}=R_{view}T_{view}$（先平移，再旋转
     • Translate $\overset\rightharpoonup e$ to origin

       $T_{view}=\begin{bmatrix}1&0&0&-x_e\\0&1&0&-y_e\\0&0&1&-z_e\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

     • Rotate $\widehat g$ to -Z, $\widehat t$to Y, $\widehat g\times\widehat t$to X
     • 考虑它的逆旋转 Inverse rotation：X to $\widehat g\times\widehat t$, Y to $\widehat t$, Z to $-\widehat g$
       

为什么要考虑逆旋转？如果直接计算 $R_{view}$：

• Rotate $\widehat g$ to -Z, $\widehat t$to Y, $\widehat g\times\widehat t$to X
  设旋转矩阵 $R_{view}$：

  $R_{view}=\begin{bmatrix}a&b&c&0\\d&e&f&0\\g&h&i&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

  X，Y，Z 方向分别用单位向量 $\widehat x$，$\widehat y$，$\widehat z$表示：

  $\widehat x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\;\;\;\widehat y=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\;\;\;\widehat z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$

  设 $\widehat g$，$\widehat t$，$\widehat g\times\widehat t$分别为：

  $\widehat g=\begin{pmatrix}x_{\widehat g}\\y_{\widehat g}\\z_{\widehat g}\\0\end{pmatrix}\;\;\;\widehat t=\begin{pmatrix}x_{\widehat t}\\y_{\widehat t}\\z_{\widehat t}\\0\end{pmatrix}\;\;\;\widehat g\times\widehat t=\begin{pmatrix}x_{\widehat g\times\widehat t}\\y_{\widehat g\times\widehat t}\\z_{\widehat g\times\widehat t}\\0\end{pmatrix}$

  则有：$-\widehat z=R_{view}\widehat g$，$\widehat y=R_{view}\widehat t$，$\widehat x=R_{view}\widehat g\times\widehat t$，但是这样计算 $R_{view}$ 确实有点困难。

• 考虑它的逆旋转 Inverse rotation：X to $\widehat g\times\widehat t$, Y to $\widehat t$, Z to $-\widehat g$
  设旋转矩阵 $R_{view}^{-1}$：

  $R_{view}^{-1}=\begin{bmatrix}a&b&c&0\\d&e&f&0\\g&h&i&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

  则有：$\widehat g\times\widehat t=R_{view}^{-1}\widehat x$，$\widehat t=R_{view}^{-1}\widehat y$，$-\widehat g=R_{view}^{-1}\widehat z$，可以很容易计算出：

  $R_{view}^{-1}=\begin{bmatrix}x_{\widehat g\times\widehat t}&x_{\widehat t}&x_{-\widehat g}&0\\y_{\widehat g\times\widehat t}&y_{\widehat t}&y_{-\widehat g}&0\\z_{\widehat g\times\widehat t}&z_{\widehat t}&z_{-\widehat g}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

  前面我们提到，正交矩阵的逆等于它的转置，所以 $R_{view}=(R_{view}^{-1})^{-1}=(R_{view}^{-1})^T$

$R_{view}=\begin{bmatrix}x_{\widehat g\times\widehat t}&y_{\widehat g\times\widehat t}&z_{\widehat g\times\widehat t}&0\\x_{\widehat t}&y_{\widehat t}&z_{\widehat t}&0\\x_{-\widehat g}&y_{-\widehat g}&z_{-\widehat g}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

3. 总结 Summary
   • Transform objects together with the camera
   • Until camera at the origin, up at Y, look at -Z

• 视图/相机变换 View/Camera Transformation，也称为模型视图变换 ModelView Transformation
• 我们需要它用于投影变换 Projection Transformation。

这样只需要对物体应用视图变换，相机就固定在默认位置上（The origin, up at Y, look at -Z）。从世界坐标系转到相机坐标系？

投影变换 Projection transformation

• 计算机图形学中的投影
  • 3D to 2D
  • 正交投影 Orthographic projection
  • 透视投影 Perspective projection（近大远小
    
• 正交投影与透视投影的对比
  

正交投影 Orthographic projection

• 一种简单的理解方式
  • 相机位于原点，看向 -Z，向上方向 Y（视图变换中的默认相机位置
  • 去掉 Z 轴（映射到 z = 0 的 x-y 平面，3D to 2D
  • 将生成的矩形画面平移并缩放到 $[-1, 1]^2$
    
• 通常情况下（规定/默认操作，方便后续计算
  • 我们想要将长方体 [l, r] x [b, t] x [f, n] 映射到特定的 “canonical（正则、规范、标准）” 立方体 $[-1, 1]^3$

  [left, right] → [-1, 1];   [bottom, top] → [-1, 1];   [far, near] → [-1, 1]

• 以简单的方式：
  • 移动 translate 长方体的中心 center 到原点 origin
  • 缩放 scale 到 “规范 canonical” 立方体
    
• 变换矩阵
  • Translate (center to origin) first, then scale (length/width/height to 2)

  $M_{ortho}=\begin{bmatrix}\frac2{r-l}&0&0&0\\0&\frac2{t-b}&0&0\\0&0&\frac2{n-f}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&-\frac{r+l}2\\0&1&0&-\frac{t+b}2\\0&0&1&-\frac{n+f}2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

• 注意事项
  • 看向 -Z 方向会使近处 near 和远处 far 反直觉/不直观（n > f）

  从坐标来说，直觉应该是近处坐标小，远处坐标大，而这里是 “近大远小”

  • 仅供参考：这就是 OpenGL（图形 API）使用左手坐标的原因

将长方体映射到规范立方体，不是等比例压缩，很可能造成拉伸，这没关系，后面还有变换处理。

透视投影 Perspective projection

• 最常见于计算机图形学、艺术、视觉系统
• 更远的物体更小（近大远小
• 视觉效果：平行线不平行，收敛到单点
  
• 如何进行透视投影？
  • 首先将四角棱台/锥台 frustum (视锥体 viewing frustum) “挤压” 变成长方体 cuboid
    这样就将透视投影转换成正交投影 $M_{persp->ortho}$
  • 然后进行正交投影（我们前面已经准备好 $M_{ortho}$
    

  这里我们规定 “挤压” 操作以确保做法唯一：

  • 近平面 (z = n) 上的任意点都不会改变
  • 远平面 (z = f) 上的任意点的 z 坐标不会改变
  • 远平面 (z = f) 上的中心点也不会改变

  （frustum 内部的点坐标会发生变化，包括 z 坐标

• 如何 “挤压” ？寻找一种变换 transformation
  • 寻找变换后的点 $(x', y', z')$ 和原始点 $(x, y, z)$ 之间的关系（相似三角形
    由相似三角形的成比例关系，可以得到 frustum 中任意点的 x, y 坐标的变换：$x'=nx/z,\;y'=ny/z$
    但是 z 坐标的变换仍是未知的，暂且写为 unknown
    
  • 在齐次坐标 homogeneous coordinates 中：
    

    回想之前讲过的齐次坐标的性质：
    $(wx, wy, wz, w),\;w\neq 0$ 和 $(x, y, z, 1)$ 表示的是 3D 中的同一点 $(x, y, z)$
    例如：(1, 0, 0, 1) 和 (2, 0, 0, 2) 都表示 (1, 0, 0)
    所以我们可以同时乘上一个 z (mult. by z)：$(x, y, z, 1)$ to $(xz, yz, zz, z)$

    • 所以 “挤压”（透视到正交）投影可以做到这一点：

    $M_{persp\rightarrow ortho}^{(4\times4)}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx/z\\ny/z\\unknown\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx\\ny\\unknown\\z\end{pmatrix}$

  • 根据已知信息，已经足以弄清楚 $M_{persp->ortho}$ 的一部分：

    $M_{persp\rightarrow ortho}=\begin{pmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\?&?&?&?\\0&0&1&0\end{pmatrix}$

  • 显然，变换矩阵的第三行负责的是 z 坐标

    • 近平面 (z = n) 上的任意点都不会改变：(x, y, n, 1) to (x, y, n, 1)
      

      所以第三行一定是 $\begin{pmatrix}0&0&A&B\end{pmatrix}$ 的形式
      

      同时，已知：$An+B=n^2$

    • 远平面 (z = f) 上的任意点的 z 坐标不会改变：$(x, y, f, 1)$ to $(x', y', f, 1)$
      取远平面的中心点：$(0, 0, f, 1)$ to $(0, 0, f, 1)$
      可得 $Af+B=f^2$
      

    • 求解 A 和 B：
      

  • 最终，得到 $M_{persp\rightarrow ortho}$：

    $M_{persp\rightarrow ortho}=\begin{pmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{pmatrix}$

  • 接下来？
    • 进行正交投影 $M_{ortho}$
    • $M_{persp}=M_{ortho}M_{persp\rightarrow ortho}$

$M_{persp\rightarrow ortho}=\begin{bmatrix}\frac2{r-l}&0&0&0\\0&\frac2{t-b}&0&0\\0&0&\frac2{n-f}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&-\frac{r+l}2\\0&1&0&-\frac{t+b}2\\0&0&1&-\frac{n+f}2\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{pmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{pmatrix}$

最后的小问题：frustum 中间平面 $z = \frac{n+f}{2}$ 的点，经过 “挤压” 后会变得更远还是更近？

我们只关注 z 坐标的变化，可以观察中间平面的中心点 $\begin{pmatrix}0&0&\frac{n+f}2&1\end{pmatrix}$
记该点为 V 点，坐标系原点为 O 点，$\overset\rightharpoonup v=\overset\rightharpoonup{OV}$
则有：$\overset\rightharpoonup v_{persp\rightarrow ortho}=M_{persp\rightarrow ortho}\overset\rightharpoonup v$

$\overset\rightharpoonup v_{persp\rightarrow ortho}=\begin{pmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{n+f}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\n+f-\frac{2nf}{n+f}\\1\end{pmatrix}$

比较 $z_{persp\rightarrow ortho}=n+f-\frac{2nf}{n+f}$ 和 $z=\frac{n+f}{2}$ 的大小：
假设 $\triangle=z_{persp\rightarrow ortho}-z$

$\triangle=\frac{n+f}2-\frac{2nf}{n+f}=\frac{(n+f)^2-4nf}{2(n+f)}=\frac{(n-f)^2}{2(n+f)}$

因为相机位置在原点，看向 -Z，应该有：f < n < 0，则 $\triangle<0$
也就是 $z_{persp\rightarrow ortho}<z$，所以是变远了

事实上，对远近平面中间的任意点，可以类似以上证明得出结论：“挤压” 后都会变远。
[GAMES101] 投影变换和模型变换