向量：Vectors

  • 通常写作 a⃗\vec a或 a\boldsymbol a

  • 或使用起点和终点 AB⃗=B−A\vec{AB}=B-A

  • 表示方向和长度

  • 没有绝对的起点位置（不关心绝对位置，可以平移移动

向量规范化：Vector Normalization

  • 向量的长度写作 ∣∣a⃗∣∣\vert\vert\vec a\vert\vert

  • 单位向量

    • 一个长度为 1 的向量

    • 一个向量的单位向量：a^=a⃗∣∣a⃗∣∣\widehat a=\frac{\vec a}{\vert\vert\vec a\vert\vert}

    • 用来表示方向（不关心长度）

向量加法：Vector Addition

Vector Addition

  • 几何上：平行四边形法则、三角形法则（不止适用于两个向量）

  • 代数上：坐标相加

笛卡尔坐标系（直角坐标系）：Cartesian Coordinates

向量的坐标表示，默认列向量，计算长度。

Cartesian Coordinates

向量乘法：Vector Multiplication

点乘（标量）：Dot (scalar) Product

Dot (scalar) Product

向量点乘的结果是标量（一个数）。

Properties

笛卡尔坐标系中的点乘：对应元素相乘，然后相加（可以扩展到高维）。
Dot Product in Cartesian Coordinates

点乘的作用（图形学中）：

  • 找到两个向量（方向）之间的夹角，比如光源和表面之间夹角的余弦值

  • 找到一个向量在另一个向量上的投影
    Dot Product for Projection

  • 分解向量（垂直与平行的分解）
    Decompose a vector

  • 测量两个向量方向的接近程度（-1 ~ 1，-1 完全相反，1 完全同向）

  • 得到两个向量的方向性（ >0 基本一致，<0 基本相反，=0 垂直）
    Determine forward / backward

叉乘（矢量）：Cross (vector) Product

Cross (vector) Product

  • 叉乘结果与两个初始向量正交（垂直）

  • 方向由右手定则确定（叉乘不满足交换律）

  • 在构建坐标系时有用

Cross product: Properties

在三维坐标系中，如果有 x⃗×y⃗=+z⃗\vec x\times\vec y=+\vec z，即为右手坐标系。

叉乘的笛卡尔公式：
Cross Product: Cartesian Formula

向量的叉乘可以表示为矩阵形式：
dual matrix of vector a

叉乘的作用（图形学中）：

  • 判定一个点或一个向量，在另一个向量方向的 左 / 右
    a⃗×b⃗>0\vec a\times\vec b > 0，a⃗\vec a在 b⃗\vec b的右侧，b⃗\vec b在 a⃗\vec a的左侧

  • 判定一个点在三角形（可扩展多边形）的 内 / 外
    下图 △ABC\bigtriangleup\mathrm{ABC} 中，AB⃗×AP⃗\vec{AB}\times\vec{AP}，BC⃗×BP⃗\vec{BC}\times\vec{BP}，CA⃗×CP⃗\vec{CA}\times\vec{CP}的结果向量方向都是向外的（同向），说明点 P 均在 AB⃗\vec{AB}，BC⃗\vec{BC}，CA⃗\vec{CA}的左侧，说明点 P 在 △ABC\bigtriangleup\mathrm{ABC} 内。

    简言之，三角形的三条边所代表的三个向量（顺时针或逆时针），与三个点与点 P 构成的向量的叉乘的结果，三个结果向量都是同向的，说明点 P 在三条边的同侧，则点 P 在三角形中。
    Cross Product in Graphics

如果叉乘结果等于 0，说明计算的两个向量重合，自己决定在左或右，内或外，都行。

正交基和坐标系：Orthonormal bases and coordinate frames

  • 对于表示点、位置、地点（points, positions, locations）很重要

  • 通常，多组坐标系：全局坐标系、局部坐标系、世界坐标系、模型、模型的各个部分（头、手…）

  • 关键问题是这些系统（坐标系）之间的转换

任意一个三维向量可以表示在一个三维的直角坐标系中：

Orthonormal Coordinate Frames

利用点乘分解向量（投影），可以用单位向量 u⃗\vec u，v⃗\vec v，w⃗\vec w表示任意三维向量 p⃗\vec p：

p⃗=(p⃗⋅u⃗)u⃗+(p⃗⋅v⃗)v⃗+(p⃗⋅w⃗)w⃗\vec p=(\vec p\cdot\vec u)\vec u+(\vec p\cdot\vec v)\vec v+(\vec p\cdot\vec w)\vec w

矩阵：Matrices

在图形学中，普遍用于表示变换 - 平移、旋转、剪切、缩放（Translation, rotation, shear, scale）

矩阵加法、矩阵乘法（略）

M行N列矩阵 乘 N行P列矩阵 结果为 M行P列矩阵：(M x N)(N x P) = (M x P)

矩阵乘法不满足交换律，AB 和 BA 一般是不同的。

  • (AB)C = A(BC)
  • A(B + C) = AB + AC
  • (A + B)C = AC + BC

矩阵转置，(AB)T=BTAT{(AB)}^T=B^TA^T

单位矩阵 I3x3=(100010001)I_{3x3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, IA=AI=AIA = AI = A

矩阵的逆：AA−1=A−1A=IAA^{-1}=A^{-1}A=I, (AB)−1=B−1A−1{(AB)}^{-1} = B^{-1}A^{-1}

向量乘法的矩阵形式：
Vector multiplication in Matrix form